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ELEKTRONIK

Festpunkt- und Gleitpunktdarstellung

Festpunktzahlen

Die bisher betrachtete Schreibweise gebrochener Zahlen wird Festpunktdarstellung (Festkommadarstellung) genannt. Bei einer vorgegebenen Gesamtstellenzahl steht der Radixpunkt immer an der gleichen Stelle. Wie weit die erste von Null verschiedenen Ziffer vom Punkt entfernt steht, hängt von der Größe der Zahl ab, z. B. Darstellung mit Vorzeichen, 8 Stellen vor dem Komma und 3 Stellen dahinter (dezimal).

Die Zahl wird mit führenden Nullen dargestellt und gegebenenfalls gerundet. Im obigen Beispiel reicht der darstellbare Bereich von -99999999,999 bis +99999999,999. Der Nachteil liegt im begrenzten Zahlenbereich bei sehr kleinen Zahlen gehen durch die Rundung Stellen verloren (0,0009 würde z. B. zu 0), sehr große Zahlen sind nicht mehr darstellbar.

Gleitpunktzahlen

Gebrochene Zahlen (reelle Zahlen) werden i.a. inGleitpunktdarstellung (Gleikomma-Darst.) bearbeitet. Gleitpunktzahlen, floating point numbers). Wegen der endlichen Stellenzahl können reelle Zahlen nur unvollkommen dargestellt werden, sie repräsentieren nur einzelne Punkte auf der reellen Zahlengerade Rundungsfehler.

Bei der Gleitpunktdarstellung wird die Zahl so gespeichert, daß der Radixpunkt immer zur ersten von Null verschiedenen Ziffer gleitet. Dieserreicht man durch Abspalten einer entsprechenden Potenz der Basis:

Z = M * BE, n ganzzahlig
M = 0.xxxxxxx..., 1/B <= M < 1

Da die Basis bekannt ist, kann die Zahl durch die Mantisse M und den Exponenten E dargestellt werden. halblogarithmische Darstellung normalisierte Darstellung. Die Anpassung der GP-Zahl an die angegebene Darstellungsform wird als "Normalisieren" bezeichnet.

Beispiel:

Z = 42.5456 0.425456 * 102 M = 425456, E = 2

Man bezeichnet E als Exponent (bzw. Charakteristik) Größenordnung der Zahl und M als Mantisse Angabe der gültigen Zifferndarstellungen

Die Art der Darstellung von Mantisse und Exponent ist recht unterschiedlich. Für Mantisse und Exponent wird jeweils eine feste Stellenzahl vorgegeben, in der auch das Vorzeichen von Mantisse und Exponent untergebracht werden muss. Am üblichsten ist Betrags-Vorzeichen-Darstellung der Mantisse und Exponentendarstellung mit verschobenem Wertebereich (Charakteristik) so, dass der Wert der Charakteristik immer ³ 0 ist (so wird ein zusätzliches Bit für das Vorzeichen des Exponenten eingespart). Sie stellt also eine einfache Verschiebung des Wertebereichs dar und hat keinen Einfluss auf die Berechnung.

Beispiel:

                                            Wertebereich Exponent:      -128 ... 127
                                            Charakteristik (C = E + V):    0 ... 255    (V = 128)
                                       

Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Gleitpunkt-Dualzahl:

1. Methode:
  • Getrennte Umwandlung des ganzahligen und gebrochenen Anteils
  • Verschieben des Radixpunktes bis zur ersten von Null verschiedenen Ziffer (Normalisierung).
Beispiel: (8 Stellen Mantisse, 4 Stellen Exponent, V = 8)
                                       27.75 dez. = 11011.11 dual  M = 0.1101111, E = 0101
                                                                   M = 0.1101111, C = 1101
                                       
2. Methode:
  • Abspalten der nächstgrößeren Zweierpotenz (d.h. dividieren durch 2, bis das Ergebnis kleiner 1 ist)
  • Getrennte Umwandlung von Mantisse (echter Bruch) und Exponent (ganzzahlig).
Beispiel: (8 Stellen Mantisse, 4 Stellen Exponent, V = 8)
                                       27.75 dez.  M = 0.8671875, E = 5
                                                   M = 0.1101111, E = 0101
                                                   M = 0.1101111, C = 1101
                                       

Eigenschaften von Gleitpunktzahlen:

  • Die Gleitkommadarstellung ist immer auf eine bestimmte Zahl von Stellen genau (die Anzahl der Mantissenstellen) bestimmte relative Genauigkeit, z.B. 32-Bit-Mantisse (einschl. VZ) 31 Dualst. 9 Dezimalstellen. Reelle Zahlen werden also immer auf die nächstgelegene GK-Zahl gerundet.
  • Die Gleitkommadarstellung hat den Vorteil, daß man mit bestimmter Stellenzahl einen viel größeren Zahlenbereich darstellen kann, als mit Fixkommazahlen.
  • Manchmal wird auch eine Darstellung verwendet, bei welcher der Radixpunkt rechts der ersten von Null verschiedenen Ziffer steht (z.B. 1.100101). Im Dualsystem ist diese Ziffer immer 1 und kann deshalb bei der Speicherung in EDV-Systemen weggelassen werden (impliziter ganzer Teil der Mantisse).

Gleitpunkt-Arithmetik

Auch hier gilt wieder, dass die Rechenverfahren verwendet werden, die wir in der Schule gelernt haben - eben nur angewendet auf Dualzahlen.

Addition und Subtraktion:

  1. Angleichen der Exponenten der beiden Operanden (Verschieben der Mantisse des Operanden mit kleineren Exponenten)
  2. Addition/Subtraktion der Mantissen
  3. Normalisieren des Ergebnisses

Multiplikation und Division:

  1. Multiplikation/ Division der Mantissen
  2. Addition/ Subtraktion der Exponenten
  3. Normalisieren des Ergebnisses

Beispiel für Gleitpunkt-Addition im Dualsystem:
(6 Stellen Mantisse, 4 Stellen Charakteristik)

Assoziativität und Distributivität gilt nicht mehr

Durch die begrenzte Stellenzahl entstehen u. U. Rundungsfehler beim Angleichen der Operanden (Rundungsfehler). Das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz gelten nicht mehr.
                                                  a + (b + c) ungleich (a + b) + c
                                                  a * (b * c) ungleich (a * b) * c
                                                  (a + b) * c ungleich (a * c) + (b * c)
                                       

Einfaches Beispiel:

Beim Angleichen geht die letzte Stelle des ersten Summanden verloren.

Beispiel für Gleitpunkt-Formate

Bei EDV-Anlagen mit großer Maschinenwortlänge werden Mantisse und Exponent meist in einem Maschinenwort untergebracht. Die GK-Arithmetik wird meist von der Hardware unterstützt. Bei Mikrocomputern ist die GK-Arithmetik meist durch Software realisiert (Ausnahme: spezielle GK-Koprozessoren). Häufig wird neben einen Format für einfache Genauigkeit ein weiteres Format für erweiterte Genauigkeit angeboten.

Beispiel: DIN IEC 47B für Mikroprozessoren

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