PÜ 12.2: Transformation zwischen Zahlensystemen

1. Einführung - Szenario

Dank seiner Ausstattung mit zehn Fingern ist für den Menschen der Umgang mit dem Dezimalsystem die natürlichste Sache der Welt. Man geht davon aus, dass unsere Vorfahren vor etwa 5000 Jahren begannen, die Dinge, die sie umgaben, zu zählen. Um so schwerer fällt uns naturgemäß der Umgang mit Zahlensystemen, die nicht auf der Basis 10 beruhen, etwa dem Dualsystem oder dem Hexadezimalsystem.

In diesem Projekt geht es daher um die Aufstellung und Programmierung von Algorithmen zur Wandlung des dezimalen Positionssystems in andere Positionssysteme und umgekehrt.

Vorauszusetzendes:

Die Schüler kennen die algorithmischen Grundstrukturen Sequenz, Alternative und Zyklus und sind in der Lage, diese zur Lösung einfacher Problemstellungen miteinander zu kombinieren bzw. zu verschachteln.
Kenntnisse zum Datentyp Zeichenkette sowie Fertigkeiten bezüglich Zugriff und Manipulation einzelner Elemente der Kette werden vorausgesetzt.

Projektverlauf:

Zunächst wird die Überführung einer Dezimalzahl in eine Dualzahl und umgekehrt an einfachen Beispielen verdeutlicht. Es werden Algorithmen in Struktogrammform abgeleitet und diese wiederum in eine einfache Oberfläche implementiert.
Anschließend werden die Kenntnisse auf das Problem der Hexadezimalzahlen übertragen und Lösungen zur Behandlung der Hexadezimalziffern > 9 diskutiert.
Schließlich können die Algorithmen des Projektes soweit verallgemeinert werden, dass die Basis selbst zur Variablen wird.

2. Aufgabenstellung

Ähnlich der Abbildung ist ein Zahlenkonverter zu programmieren, wobei jedes Textfeld zur Eingabe einer Zahl des angegebenen Zahlensystems genutzt werden kann und auf Betätigung des jeweiligen Go!-Buttons hin die Wandlung in die beiden verbleibenden Systeme erfolgen soll. Für alle Eingaben ist abzusichern, dass keine "unerlaubten" Zeichen zur Verarbeitung gelangen. Empfohlene Vorgehensweise: Dezimales und duales Positionssystem klarmachen! Algorithmus "Dezimal in Dual" an Zahlenbeispielen sowie im Struktogramm nachvollziehen und danach in die Programmoberfläche (vgl. Abb.) implementieren! Besonderheiten des Hexadezimalsystems herausarbeiten, den Algorithmus "Dezimal in Dual" zu "Dezimal in Hexadezimal" erweitern und implementieren (in die gleiche Prozedur wie 2.)! Programierung der Wandlung "Dual nach Dezimal" - dabei eine Eingabeprüfung auf korrekte Dualzahl einarbeiten! Die Konvertierung "Dual in Hexadezimal" kann, nachdem die entsprechende Dezimalzahl im oberen Edit-Feld ausgegeben wurde, durch Auslösen des Button1.Click-Ereignisses simuliert werden ;-) Die Verfahrensweise von 4. ist auf "Hexadezimal in Dezimal" bzw. "Hexadezimal in Dual" zu übertragen! Weiterführende Aufgaben: Entwicklung eines Zahlenkonverters, der eine einzugebende Zahl beliebiger Basis (2 <= Basis <= 36) in ein Ausgabesystem mit ebenfalls beliebiger Basis wandelt. Der Ziffernvorrat betrage dabei {0...9; A...Z} Erweiterung des obigen Konverters für ganze Zahlen auf den Bereich der reellen Zahlen. (Eine Aufgabe für Freaks, denn hier kapituliert sogar der Windows-Taschenrechner! Wer's geschafft hat bitte Mail + Attachement an mich ;-) Für die Wandlung von Römischen Zahlen in Dezimalzahlen und umgekehrt ist ein Programm zu entwickeln.

3. Algorithmisch-programmiertechnische Grundlagen

3.1. Wandlung Dual in Dezimal

Machen wir uns zunächst nochmals das Dezimalsystem (dezimales Positionssystem) klar.
Basis = 10, Ziffern = {0...9}

Beispiel: 1472

103	102	101	100
1	4	7	2	= 2*100 + 7*101 + 4*102 + 1* 103 = 2*1 + 7*10 + 4*100 + 1*1000 = 2 + 70 + 400 + 1000 = 1472

Diese formale Betrachtungsweise wird auf das Dualsystem übertragen.
Basis = 2, Ziffern = {0; 1}

Beispiel: 1101₂

23	22	21	20
1	1	0	12	= 1*20 + 0*21 + 1*22 + 1* 23 = 1*1 + 0*2 + 1*4 + 1*8 = 1 + 0 + 4 + 8 = 1310

Ein entsprechender Algorithmus muss also die Zeichenkette, welche die Dualzahl präsentiert, vom letzten bis zum ersten Zeichen durchlaufen und jeweils den Zahlwert der betreffenden Ziffer bilden. (bei Dualzahlen 0 oder 1)
Diese Zahlwerte sind mit den Faktoren der zugehörigen Position zu multiplizieren und zur Dezimalzahl aufzusummieren. (Verdeutlicht wird dieses Vorgehen an der oben grün dargestellten Zeile)

Struktogramm Dual in Dezimal

Realisierung der Eingabeprüfung

Es wird für jedes Zeichen überprüft, ob es sich in der erlaubten Wertemenge befindet. Sollte dies auch nur einmal nicht der Fall sein, ist die Eingabe nicht korrekt. Hilfreich erweist sich in diesem Fall die Verwendung einer boolschen Variablen.

...; {Eingabeprüfung} korrekt := true; for i := 1 to Length(duz) do   if not (duz[i] in [0..1]) then     korrekt := false; {Wandlung bei korrekter Eingabe} if korrekt then   begin     ...   end {Fehlermeldung bei nicht korrekter Eingabe} else   begin   ...   end;

3.2. Wandlung Dezimal in Dual

Algorithmus:

Die Dezimalzahl wird fortlaufend ganzzahlig mit 2 dividiert. Der jeweils entstehende Rest wird von rechts nach links an die Dualzahl angefügt. Das Verfahren endet, wenn das Ergebnis der ganzzahligen Division 0 beträgt.

Abb. Wandlung der Dezimalzahl 23 in eine Dualzahl

Struktogramm Dezimal in Dual 

3.3. Besonderheiten des Hexadezimalsystems

Da dieses Zahlensystem auf der Basis 16  beruht, sind also auch 16 verschiedene Ziffernzeichen notwendig. Neben den bekannten Ziffernzeichen 0..9 kommen zusätzlich die Buchstaben A..F als "Ziffern" zum Einsatz. (siehe Tabelle)

Dez.	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	...
Hex.	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	...

Wandlung Hexadezimal in Dezimal (Zahlenbeispiel):

162	161	160
2	E	A16	= 10*160 + 14*161 + 2*162 = 10*1 +14*16 + 2*256 = 10 + 224 + 512 = 74610

Wandlung Dezimal in Hexadezimal (Zahlenbeispiel):

Zu beachten ist dabei, dass für Rest-Werte zwischen 10 und 15 die entsprechenden Buchstaben eingesetzt werden müssen.

Im Programm kann dies auf verschiedene Weise realisiert werden: mit einer geschachtelten IF-THEN-ELSE-Struktur :-( mittels CASE-Anweisung   :-) durch Zugriffe auf die ASCII-Tabelle - siehe Chr(x) / Ord(z)  :-) unter Verwendung einer Zeichenkettenkonstante, die alle Hexziffern in gegebener Reihenfolge enthält, wobei der Restwert als Index für die jeweilige Hexziffer fungiert :-))

3.4. Spezielle Pascal-Sprachelemente zum Projekt

Befehlswort	Erläuterungen und Beispiele
DIV	Ganzzahlige Division (Weglassen der Kommastellen) z.B. 7 div 2 => 3
MOD	Restwert der ganzzahligen Division z.B. 7 mod 2 => 1 (denn 7 : 2 = 3, Rest 1)
Longint	Datentyp für lange Integer-Zahlen (32 Bit) Wertebereich (-2147483648 .. 2147483647)
IN	Feststellen einer Mengenzugehörigkeit z.B. if zeichen in ['0'..'9'] stellt fest, ob der Wert von Zeichen innerhalb der Zeichenmenge von 0 bis 9 ist. if buchst in ['a'..'z', 'A'..'Z'] ermittelt, ob buchst mit einem Buchstaben belegt ist
Chr(x)	x ist ein Integer-Ausdruck. Das Ergebnis der Funktion ist ein Zeichen, dessen ASCII-Code dem Wert von x entspricht. Für x sind Werte von 0 bis 255 zugelassen.z.B. chr(68) => 'D'
Ord(z)	z ist ein ASCII-Zeichen. Das Ergebnis der Funktion ist derjenige Integer-Wert, der die Position des Zeichens in der ASCII-Tabelle angebt. z.B. ord('G') => 71

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