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Formelsammlung Geometrie
Die Formelsammlung zur Geometrie
ist ein Teil der Formelsammlung,
in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden
sind.
Geometrie in der Ebene
Abbildungen
Winkel
Nebenwinkel
- Nebenwinkel betragen zusammen immer 180°.
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![Bild:Nebenwinkel.png](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/3/38/Nebenwinkel.png)
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Scheitelwinkel
- Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
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![Bild:Scheitelwinkel.png](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/1/1b/Scheitelwinkel.png)
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Stufenwinkel
- Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.
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![Bild:Stufenwinkel.png](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/a/ae/Stufenwinkel.png)
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Wechselwinkel
- Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.
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![Bild:Wechselwinkel.png](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/1/1e/Wechselwinkel.png)
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Außenwinkel
- Im Dreieck ist ein Außenwinkel gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.
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![Bild:AussenwinkelAmDreieck.png](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/a/a5/AussenwinkelAmDreieck.png)
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Winkelsummen
- Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer 180°
- Die Summe der Innenwinkel in einem Viereck ist immer 360°
- Die Summe der Innenwinkel in einem n-Eck ist immer (n-2)*180°
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Teilung einer Strecke
Verhältnisteilung
Um eine Strecke AB in einem bestimmten Verhältnis (in n gleiche Teile) zu teilen, zeichne man zunächst einen beliebigen Strahl von A aus, der nicht parallel zu AB ist, auf diesem trage man n mal dieselbe Strecke ab, verbinde deren Endpunkt C mit B und
zeichne die Parallelen zu BC durch die bei der Unterteilung von AC entstandenen Punkte, deren Schnittpunkte mit AB teilen AB in n gleiche Teile. |
![Bild:TeilungEinerStrecke.png](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/7/76/TeilungEinerStrecke.png) |
Dreieck
- Benennung der Seiten und Winkel
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- Der Innenwinkel beim Eckpunkt A nennt man α (griechische Kleinbuchstaben)
- Die Dreiecksseite (bzw. deren Länge) gegenüber der Ecke A nennt man a
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![Bild:Dreieck_allgemein.png](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/e/ee/Dreieck_allgemein.png)
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- Alle Seiten sind gleich lang
- Alle Winkel sind gleich groß (60°)
- Höhenlinien = Symmetrieachsen = Winkelhalbierende = Seitenhalbierende
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![Bild:Dreieck_gleichseitig.png](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/e/e2/Dreieck_gleichseitig.png)
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- 2 Seiten sind gleichlang (Schenkel a und b)
- Die zwei Basiswinkel (α und β)sind gleich groß
- Die Höhenlinie halbiert den Winkel γ
- Die Höhenlinie halbiert die Basis c
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![Bild:Dreieck_gleichschenklig.png](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/e/e7/Dreieck_gleichschenklig.png)
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- Die Seitenhalbierenden (Schwerlinien) schneiden sich im Verhältnis 2 : 1.
- Die Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt S.
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![Bild:Dreieck_mit_Seitenhalbierende.png](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/9/93/Dreieck_mit_Seitenhalbierende.png)
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- Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten entspricht dem Mittelpunkt des Umkreises.
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- Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden entspricht dem Mittelpunkt des Inkreises.
- wα ist die Winkelhalbierende des Winkels α.
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![Bild:Dreieck_mit_Winkelhalbierende.png](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/a/ab/Dreieck_mit_Winkelhalbierende.png)
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- Die Höhen schneiden sich in einem Punkt.
- Die Höhe hc ist die Höhe vom Punkt C aus auf die Seite c.
- D ist der Höhenfußpunkt von hc.
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![Bild:Dreieck_mit_Höhen.png](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/0/0b/Dreieck_mit_Höhen.png)
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- Flächenberechnung mit Grundseite und Höhe
![A=\frac{g \cdot h}{2}](e0d84ecb99541f734d4cfff75b1da4f0.png)
- Flächenberechnung mit einem Winkel
![A=\frac{b\cdot c\cdot \sin(\alpha)}{2}](b9d960de3b45f82545e0cbb6b92079ac.png)
(b und c sind die den Winkel α einschließenden Seiten)
Satzgruppe des Pythagoras
- Im rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten:
![\mathbf{a^2 + b^2 = c^2}](faa4be9afc1f344c3b2a91539ce89055.png)
- Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und der Projektion dieser Kathete auf die Hypotenuse:
![a^2 = p \cdot c, \ b^2 = q \cdot c](d0a1377b18f56c95967be95a65da3ec2.png)
- Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe auf der Hypotenuse flächengleich mit dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten.
![h^2 = q \cdot p](5a0a9a185e3fe5ced9d67e8d8a72c6e4.png)
Kongruenzsätze
Zwei Dreiecke sind kongruent bzw. deckungsgleich, wenn sie übereinstimmen in
- drei Seiten (sss)
- zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws)
- zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite (Ssw)
- einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln (wsw)
Ähnlichkeitssätze
Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn
- drei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben
- zwei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben und die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen
- zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben und die Gegenwinkel der längeren Seiten übereinstimmen
- zwei Winkel übereinstimmen
Strahlensätze
Vierecke
![U = 4\cdot a](e5e0bc4200ea9a0576badf40fb59c136.png)
- A = a2
![d = a\cdot \sqrt{2}](cf722b397039e6014f6dddf35bb6df4a.png)
![U = 2\cdot a + 2\cdot b](6dcdf10f41be0bd7e89d801eeaaa15fc.png)
![A = a\cdot b](84403b152afe7ef64320e69a6b7d6a4b.png)
![d = \sqrt{a^2 + b^2}](3e65dcf89be2f7528df163c7b6035d64.png)
![U = 4\cdot a](e5e0bc4200ea9a0576badf40fb59c136.png)
![A = \frac {1} {2} \cdot e \cdot f](2cac5a7df492e3cc76e23f41c48c180e.png)
![e^2 + f^2 = 4\cdot a^2](a196b8493fce0f48ac76de0af931606d.png)
![U = 2\cdot (a + b)](4495a21b52efc454014a0e135aa675e3.png)
![A = a\cdot h_a = b\cdot h_b](a2341919eb80028178eb25df7fd5a4eb.png)
- U = a + b + c + d
![m = \frac {1} {2} (a + b)](4bad1206a356a1de30d45b4b7e54f106.png)
Geometrie am Kreis
Regelmäßige Vielecke
Kreis, Kreisteile
- Fläche eines Kreisabschnittes (Segment)
![A = {{r^2} \over {2}} \cdot \left( {{{\pi} \cdot {\alpha} } \over{180^\circ}} - \sin \alpha \right)](ee93a59afba2c845fca840a60e062b5d.png)
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![bild:Kreis3.png](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/f/fb/Kreis3.png)
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(a, b Halbachsen der Ellipse)
- Flächeninhalt (Inneres der Ellipse)
![A=2\cdot \int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{a^2 b^2 - b^2 x^2}{a^2}}\, dx = a b \pi](23da6bdf938193976a96a7903a12aac4.png)
- D = große Durchmesser, d = kleiner Durchmesser
- A = 2 * D * d / 4 /
Geometrie im Raum
Einfache Körper
Regelmäßige Körper
- Volumen gerader und schräger Zylinder
![V = \pi \cdot r^2 \cdot h](7270ae37bcd88a9bf6efda4304489761.png)
![M = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = \pi \cdot d \cdot h](c01d4dd0cb50abbc4b8ef7dce2312428.png)
- Oberfläche gerader Zylinder
![O = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h + 2 \cdot \pi \cdot r^2 = 2 \cdot\pi \cdot r \cdot (h + r)](9e1b2b6857fbe8cc6f7f945ba106d3da.png)
- Volumen von senkrechten und schrägen Kegeln
![V = {1 \over 3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h](661b0b3973bf1d03dedd96c84caf4486.png)
- Mantel von senkrechten Kegeln
![M = \pi \cdot r \cdot s](b47161948aeae43759a2efc9d17d2e0b.png)
- Oberfläche von senkrechten Kegeln
![O = \pi \cdot r \cdot s + \pi \cdot r^2 = \pi \cdot r \cdot (s + r)](b11f4952d48a4cd5a5fd61ccf7409db0.png)
- Zusammenhang von Radius, Höhe und Seitenhöhe
- s2 = r2 + h2
Kugel und Kugelteile
![V = {4 \over 3} \cdot \pi \cdot r^3](b1aa6be48fa41d310003e637217fe3ce.png)
![O = 4 \cdot \pi \cdot r^2](a9833801e3221c44a2fd1f5c7dbbaf6a.png)
![U = 2 \cdot \pi \cdot r = \pi \cdot d](fbd6d7397abc4ce1bb2a7921354d78d3.png)
- Kugelkalotte (Kugelmütze)
![A = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h](e71fced4cacbbac8a964fc22bae7969e.png)
mit :
![V = {h^2 \cdot \pi \over 3} \cdot (3r - h)](https://de.wikipedia.org/math/61649076f55ad82f3d60ade39c40cff5.png)
![A = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h](e71fced4cacbbac8a964fc22bae7969e.png)
Ellipsoid und Drehkörper
- Volumen eines Ellipsoids mit den Halbachsen a,b,c:
![V=\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot a\cdot b\cdot c\,](e36398c4e2ee1785687d78b84c347fa1.png)
- Volumen eines Rotationsellipsoids mit den Halbachsen a,b:
![V = \pi \int_{-a}^{a} \frac{ a^2 b^2 - b^2 x^2 }{a^2} dx](582ba0920fceece51de879d466d2a87d.png)
Trigonometrie
Trigonometrische Funktionen
Definitionen
![\sin \alpha = {Gegenkathete \over Hypotenuse}= {a \over c}](https://de.wikipedia.org/math/7d2bb85345f5b2f3f7070ef05f3b02ef.png)
![\cos \alpha = {Ankathete \over Hypotenuse}= {b \over c}](e8297318dc7fb80438170be10576e1f1.png)
![\tan \alpha = {Gegenkathete \over Ankathete} = {a \over b}](9094152aa2b3fe1fe41d939a85ab214d.png)
Eigenschaften von Sinus, Kosinus und Tangens
- sin2(α) + cos2(α) = 1
![\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)} {\cos(\alpha)}](14a990df18f8b71719a53b93f86de3bd.png)
![\sin(\alpha) = \cos(90^\circ - \alpha)](975ab5e816677348f3b89f3e393b582f.png)
Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis
Vorzeichen für Winkel zwischen 0° und 360°
![{{\sin \alpha} \over a} = {{\sin \beta} \over b} = {{\sin \gamma} \over c}](f18a98c99e8d23a2d666af3ef4a82881.png)
![c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma](a74de8335b3931cfcf39f23b4d75578c.png)
Grad und Radiant
- Grad: 360° entsprechen einem Vollwinkel
- Neugrad: 400g (gon) entsprechen einem Vollwinkel
- Bogenmaß/Radiant: 2π entsprechen einem Vollwinkel
Umrechnung Grad in Bogenmaß
![b = {{2 \cdot \pi \cdot \alpha} \over 360^\circ }](3d9ed95aad123dd31ec22ab9617952b6.png)
Näherungen für sin x, cos x und tan x
Arcusfunktionen
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