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MATHEMATIK

Formelsammlung Trigonometrie

Die folgende Liste enthält die meisten bekannten Formeln aus der Dreieckstrigonometrie der Ebene. Die meisten dieser Beziehungen verwenden trigonometrische Funktionen.

Dabei werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: Das Dreieck ABC habe die Seiten a = BC, b = CA und c = AB, die Winkel α, β und γ bei den Ecken A, B und C. Ferner seien r der Umkreisradius, ρ der Inkreisradius und ρa, ρb und ρc die Ankreisradien (und zwar die Radien der Ankreise, die den Ecken A, B bzw. C gegenüberliegen) des Dreiecks ABC. Die Variable s steht für den halben Umfang des Dreiecks ABC: s=\frac{a+b+c}{2}. Schließlich wird die Fläche des Dreiecks ABC mit F bezeichnet. Alle anderen Bezeichnungen werden jeweils in den entsprechenden Abschnitten, in denen sie vorkommen, erläutert.


Inhaltsverzeichnis

Winkelsumme

\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}.

Sinussatz

\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma };\;\;\;\;\frac{c}{a}=\frac{\sin \gamma }{\sin \alpha };\;\;\;\;\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }
a:sinα = b:sinβ = c:sinγ
a:b:c = sinα:sinβ:sinγ (Verhältnisgleichung)

Siehe auch: Sinussatz

Kosinussatz

a2 = b2 + c2 - 2bccosα
b2 = c2 + a2 - 2cacosβ
c2 = a2 + b2 - 2abcosγ
\cos \alpha =\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}
\cos \beta = \frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}
\cos \gamma =\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}
a^{2}+bc\cos \alpha =b^{2}+ca\cos \beta =c^{2}+ab\cos \gamma =\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}

Siehe auch: Cosinussatz

Projektionssatz

a = bcosγ + ccosβ
b = ccosα + acosγ
c = acosβ + bcosα

Die Mollweideschen Formeln

\frac{b+c}{a}=\frac{\cos \frac{\beta -\gamma }{2}}{\sin \frac{\alpha }{2}};\;\;\;\;\frac{b-c}{a}=\frac{\sin \frac{\beta -\gamma }{2}}{\cos \frac{\alpha }{2}}
Analoge Formeln gelten für (c + a)/b, (c - a)/b, (a + b)/c und (a - b)/c.

Tangenssatz

\frac{b+c}{b-c}=\frac{\tan \frac{\beta +\gamma }{2}}{\tan \frac{\beta -\gamma }{2}}=\frac{\cot \frac{\alpha}{2}}{\tan \frac{\beta -\gamma }{2}}
Analoge Formeln gelten für (c + a)/(c - a) und (a + b)/(a - b).

Siehe auch: Tangenssatz

Formeln mit dem halben Umfang

Im folgenden bedeutet s immer die Hälfte des Umfangs des Dreiecks ABC, also s=\frac{a+b+c}{2}.

s-a=\frac{b+c-a}{2};\;\;\;\;s-b=\frac{c+a-b}{2};\;\;\;\;s-c=\frac{a+b-c}{2}
\left( s-b\right) +\left( s-c\right) =a
\left( s-c\right) +\left( s-a\right) =b
\left( s-a\right) +\left( s-b\right) =c
\left( s-a\right) +\left( s-b\right) +\left( s-c\right) =s
\sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-b\right) \left( s-c\right) }{bc}};\;\;\;\;\sin \frac{\beta }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-c\right) \left(s-a\right) }{ca}};\;\;\;\;\sin \frac{\gamma }{2}=\sqrt{\frac{\left(s-a\right) \left( s-b\right) }{ab}}
\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{s\left( s-a\right) }{bc}};\;\;\;\;\cos \frac{\beta }{2}=\sqrt{\frac{s\left( s-b\right) }{ca}};\;\;\;\;\cos \frac{\gamma }{2}=\sqrt{\frac{s\left( s-c\right) }{ab}}
\tan \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-b\right) \left( s-c\right) }{s\left( s-a\right) }};\;\;\;\;\tan \frac{\beta }{2}=\sqrt{\frac{\left(s-c\right) \left( s-a\right) }{s\left( s-b\right) }};\;\;\;\;\tan \frac{\gamma }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-a\right) \left( s-b\right) }{s\left(s-c\right) }}
s=4r\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}
s-a=4r\cos \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}
Analoge Formeln gelten für s-b und s-c.

Flächeninhalt und Umkreisradius

Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC wird hier mit F bezeichnet (nicht, wie heute üblich, mit A, um eine Verwechselung mit der Dreiecksecke A auszuschließen):

Den Umkreisradius des Dreiecks ABC bezeichnen wir mit r.

[Es ist zu beachten, dass die hier benutzten Bezeichnungen r, ρ, ρa, ρb, ρc für den Umkreisradius, den Inkreisradius und die drei Ankreisradien von der vorwiegend im englischsprachigen Raum verbreiteten Bezeichnungsweise abweichen, bei der dieselben Größen R, r, ra, rb, rc genannt werden.]

Heronsche Formel:
F=\sqrt{s\left( s-a\right) \left( s-b\right) \left( s-c\right) }=\frac{1}{4}\sqrt{\left( a+b+c\right) \left( b+c-a\right) \left( c+a-b\right) \left(a+b-c\right) }
F=\frac{1}{4}\sqrt{2\left(b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}\right) -\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right) }
F=\frac{1}{2}bc\sin \alpha =\frac{1}{2}ca\sin \beta =\frac{1}{2}ab\sin\gamma
F=\frac{1}{2}ah_{a}=\frac{1}{2}bh_{b}=\frac{1}{2}ch_{c}, wobei ha, hb und hc die Längen der von A, B bzw. C ausgehenden Höhen des Dreiecks ABC sind.
F = 2r2sinαsinβsinγ
F=\frac{abc}{4r}
F=\rho s=\rho _{a}\left( s-a\right) =\rho _{b}\left( s-b\right) =\rho_{c}\left( s-c\right)
F=\sqrt{\rho \rho _{a}\rho _{b}\rho _{c}}
Erweiterter Sinussatz: \frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2r
a = 2rsinα
b = 2rsinβ
c = 2rsinγ
r=\frac{abc}{4F}

In- und Ankreisradien

In diesem Abschnitt werden Formeln aufgelistet, in denen der Inkreisradius ρ und die Ankreisradien ρa, ρb und ρc des Dreiecks ABC vorkommen.

\rho =\left( s-a\right) \tan \frac{\alpha }{2}=\left( s-b\right) \tan \frac{\beta }{2}=\left( s-c\right) \tan \frac{\gamma }{2}
\rho =4r\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}=s\tan \frac{\alpha }{2}\tan \frac{\beta }{2}\tan \frac{\gamma }{2}
\rho =r\left( \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1\right)
\rho =\frac{F}{s}=\frac{abc}{4rs}
\rho =\sqrt{\frac{\left( s-a\right) \left( s-b\right) \left( s-c\right) }{s}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\left( b+c-a\right) \left( c+a-b\right) \left(a+b-c\right) }{a+b+c}}
\rho =\frac{a}{\cot \frac{\beta }{2}+\cot \frac{\gamma }{2}}=\frac{b}{\cot  \frac{\gamma }{2}+\cot \frac{\alpha }{2}}=\frac{c}{\cot \frac{\alpha }{2}+\cot \frac{\beta }{2}}
Wichtige Ungleichung: 2\rho \leq r; Gleichheit tritt nur dann ein, wenn Dreieck ABC gleichseitig ist.
\rho _{a}=s\tan \frac{\alpha }{2}=\left( s-b\right) \tan \frac{\gamma }{2}=\left( s-c\right) \tan \frac{\beta }{2}
\rho _{a}=4r\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}=\left( s-a\right) \tan \frac{\alpha }{2}\cot \frac{\beta }{2}\cot \frac{\gamma }{2}
\rho _{a}=r\left( -\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma +1\right)
\rho _{a}=\frac{F}{s-a}=\frac{abc}{4r\left( s-a\right) }
\rho _{a}=\sqrt{\frac{s\left( s-b\right) \left( s-c\right) }{s-a}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\left( a+b+c\right) \left( c+a-b\right) \left( a+b-c\right) }{b+c-a}}
Die Ankreise sind gleichberechtigt: Jede Formel für ρa gilt in analoger Form für ρb und ρc.
\frac{1}{\rho }=\frac{1}{\rho _{a}}+\frac{1}{\rho _{b}}+\frac{1}{\rho _{c}}

Höhen

Die Längen der von A, B bzw. C ausgehenden Höhen des Dreiecks ABC werden mit ha, hb und hc bezeichnet.

h_{a}=b\sin \gamma =c\sin \beta =\frac{2F}{a}=2r\sin \beta \sin \gamma
h_{b}=c\sin \alpha =a\sin \gamma =\frac{2F}{b}=2r\sin \gamma \sin \alpha
h_{c}=a\sin \beta =b\sin \alpha =\frac{2F}{c}=2r\sin \alpha \sin \beta
h_{a}=\frac{a}{\cot \beta +\cot \gamma };\;\;\;\;\;h_{b}=\frac{b}{\cot\gamma +\cot \alpha };\;\;\;\;\;h_{c}=\frac{c}{\cot \alpha +\cot \beta }
F=\frac{1}{2}ah_{a}=\frac{1}{2}bh_{b}=\frac{1}{2}ch_{c}
\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{1}{\rho }=\frac{1}{\rho _{a}}+\frac{1}{\rho _{b}}+\frac{1}{\rho _{c}}

Hat das Dreieck ABC einen rechten Winkel bei C (ist also γ = 90°), dann gilt

h_{c} = \frac{a b}{c}
ha = b
hb = a

Seitenhalbierende

Die Längen der von A, B bzw. C ausgehenden Seitenhalbierenden des Dreiecks ABC werden sa, sb und sc genannt.

s_{a}=\frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}+c^{2}+2bc\cos \alpha }=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+bc\cos \alpha }
s_{b}=\frac{1}{2}\sqrt{2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{c^{2}+a^{2}+2ca\cos \beta }=\sqrt{\frac{b^{2}}{4}+ca\cos \beta }
s_{c}=\frac{1}{2}\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }=\sqrt{\frac{c^{2}}{4}+ab\cos \gamma }
s_{a}^{2}+s_{b}^{2}+s_{c}^{2}=\frac{3}{4}\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)

Winkelhalbierende

Wir bezeichnen mit wα, wβ und wγ die Längen der von A, B bzw. C ausgehenden Winkelhalbierenden im Dreieck ABC.

w_{\alpha }=\frac{2bc\cos \frac{\alpha }{2}}{b+c}=\frac{2F}{a\cos \frac{\beta -\gamma }{2}}
w_{\beta }=\frac{2ca\cos \frac{\beta }{2}}{c+a}=\frac{2F}{b\cos \frac{\gamma -\alpha }{2}}
w_{\gamma }=\frac{2ab\cos \frac{\gamma }{2}}{a+b}=\frac{2F}{c\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}

Gegenseitige Darstellung

Die trigonometrischen Funktionen lassen sich ineinander umwandeln oder gegenseitig darstellen. Es gelten folgende Zusammenhänge:

\tan x = \frac{ \sin x }{ \cos x }
sin2x + cos2x = 1
1+\tan ^{2}x=\frac{1}{\cos ^{2}x}=\sec ^{2}x
1+\cot ^{2}x=\frac{1}{\sin ^{2}x}=\csc ^{2}x

Mittels dieser Gleichungen lassen sich die drei vorkommenden Funktionen durch eine der beiden anderen darstellen:

\sin x = \sqrt{ 1 - \cos^2 x } \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 0^{\circ };\;180^{\circ }\right]


\sin x = - \sqrt{ 1 - \cos^2 x } \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 180^{\circ };\;360^{\circ }\right]


\sin x = \frac{ \tan x }{ \sqrt{ 1 + \tan^2 x } } \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 0^{\circ };\;90^{\circ }\right] \cup \left[ 270^{\circ};\;360^{\circ }\right]


\sin x = - \frac{ \tan x }{ \sqrt{ 1 + \tan^2 x } } \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 90^{\circ };\;270^{\circ }\right]


\cos x = \sqrt{ 1 - \sin^2 x } \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 0^{\circ };\;90^{\circ }\right] \cup \left[ 270^{\circ};\;360^{\circ }\right]


\cos x = - \sqrt{ 1 - \sin^2 x } \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 90^{\circ };\;270^{\circ }\right]


\cos x = \frac{ 1      }{ \sqrt{ 1 + \tan^2 x } } \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 0^{\circ };\;90^{\circ }\right] \cup \left[ 270^{\circ};\;360^{\circ }\right]


\cos x = - \frac{ 1      }{ \sqrt{ 1 + \tan^2 x } } \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 90^{\circ };\;270^{\circ }\right]


\tan x = \frac{ \sqrt{ 1 - \cos^2 x } }{ \cos x } \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 0^{\circ };\;180^{\circ }\right]


\tan x = - \frac{ \sqrt{ 1 - \cos^2 x } }{ \cos x } \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 180^{\circ };\;360^{\circ }\right]


\tan x = \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 1 - \sin^2 x } } \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 0^{\circ };\;90^{\circ }\right] \cup \left[ 270^{\circ};\;360^{\circ }\right]


\tan x = - \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 1 - \sin^2 x } } \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 90^{\circ };\;270^{\circ }\right]


Vorzeichen der Winkelfunktionen

\sin x > 0 \quad f\ddot ur \quad x\in \left] 0^{\circ };\;180^{\circ }\right[
\sin x < 0 \quad f\ddot ur \quad x\in \left] 180^{\circ };\;360^{\circ }\right[
\cos x > 0 \quad f\ddot ur \quad x\in \left] 0^{\circ };\;90^{\circ }\right[ \cup \left] 270^{\circ};\;360^{\circ }\right[
\cos x < 0 \quad f\ddot ur \quad x\in \left] 90^{\circ };\;270^{\circ }\right[
\tan x > 0 \quad f\ddot ur \quad x\in \left] 0^{\circ };\;90^{\circ }\right] \cup \left[ 180^{\circ};\;270^{\circ }\right[
\tan x < 0 \quad f\ddot ur \quad x\in \left] 90^{\circ };\;180^{\circ }\right] \cup \left[ 270^{\circ};\;360^{\circ }\right[

Die Vorzeichen von cot, sec und csc stimmen überein mit denen ihrer Kehrwertfunktionen tan, cos bzw. sin.

Symmetrien

Die trigonometrischen Funktionen haben einfache Symmetrien:

\sin (-x) = - \sin x \;
\cos (-x) = \cos x \;
\tan (-x) = - \tan x \;
\cot (-x) = - \cot x \;
\sec (-x) = \sec x \;
\csc (-x) = - \csc x \;

Additionstheoreme

Weiterhin sind die Additionstheoreme nützlich:

\sin ( x + y ) = \sin x \; \cos y + \sin y \; \cos x
\sin ( x - y ) = \sin x \; \cos y - \sin y \; \cos x
\cos ( x + y ) = \cos y \; \cos x - \sin x \; \sin y
\cos ( x - y ) = \cos y \; \cos x + \sin x \; \sin y
\tan ( x + y ) = \frac{ \tan x + \tan y }{ 1 - \tan x \; \tan y } = \frac{ \sin (x + y) }{ \cos (x + y) }
\tan ( x - y ) = \frac{ \tan x - \tan y }{ 1 + \tan x \; \tan y } = \frac{ \sin (x - y) }{ \cos (x - y) }
\cot \left( x+y\right) =\frac{\cot x\cot y-1}{\cot x+\cot y} = \frac{ \cos (x + y) }{ \sin (x + y) }
\cot \left( x-y\right) =\frac{-\left( \cot x\cot y+1\right) }{\cot x-\cot y} = \frac{ \cos (x - y) }{ \sin (x - y) }
sin(x + y)sin(x - y) = cos2y - cos2x
cos(x + y)cos(x - y) = cos2y - sin2x

Für x = y folgen hieraus die Doppelwinkelfunktionen.

Doppelwinkelfunktionen

\sin ( 2\; x ) = 2 \sin x \; \cos x = \frac{2 \tan x}{ 1 + \tan^2 x }
\cos ( 2\; x ) = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2 \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1 = \frac{ 1 - \tan^2 x }{ 1 + \tan^2 x }
\tan ( 2\; x ) = \frac{ 2 \tan x }{ 1 - \tan^2 x } = \frac{2}{ \cot x - \tan x }
\cot ( 2\; x ) = \frac{ \cot^2 x - 1 }{2 \cot x } = \frac{ \cot x - \tan x}{2}

Winkelfunktionen für weitere Vielfache

\sin ( 3\; x ) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x
\sin ( 4\; x ) = 8 \sin x \; \cos^3 x - 4 \sin x \; \cos x
\sin ( 5\; x ) = 16 \sin x \; \cos^4 x - 12 \sin x \; \cos^2 x + \sin x
\sin ( n\; x ) = n \; \sin x \; \cos^{n - 1} x - {n \choose 3} \sin^3 x \; \cos^{n - 3} x + {n \choose 5} \sin^5 x \; \cos^{n - 5} x \; - \; + \; \dots
\cos ( 3\; x ) = 4 \cos^3 x - 3 \cos x
\cos ( 4\; x ) = 8 \cos^4 x - 8 \cos^2 x + 1
\cos ( 5\; x ) = 16 \cos^5 x - 20 \cos^3 x + 5 \cos x
\cos ( n\; x ) = \cos^n x - {n \choose 2} \sin^2 x \; \cos^{n - 2} x + {n \choose 4} \sin^4 x \; \cos^{n - 4} x \; - \; + \; \dots
\tan ( 3\; x ) = \frac{ 3 \tan x - \tan^3 x }{ 1 - 3 \tan^2 x }
\tan ( 4\; x ) = \frac{ 4 \tan x - 4 \tan^3 x }{ 1 - 6 \tan^2 x + \tan^4 x }
\cot ( 3\; x ) = \frac{ \cot^3 x - 3 \cot x }{ 3 \cot^2 x - 1 }
\cot ( 4\; x ) = \frac{ \cot^4 x - 6 \cot^2 x + 1 }{ 4 \cot^3 x - 4 \cot x }

Halbwinkelformeln

Zur Berechnung des Funktionswertes des halben Arguments dienen die Halbwinkelformeln:

\sin \left( \frac{x}{2} \right) = \pm \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{2}} \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 0^{\circ };\;360^{\circ }\right]
\cos \left( \frac{x}{2} \right) = \pm \sqrt{\frac{1+\cos(x)}{2}} \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ -180^{\circ };\;180^{\circ }\right]
\tan \left( \frac{x}{2} \right) = \pm \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}} = \frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)} \quad f\ddot ur \quad x\in \left( -180^{\circ };\;180^{\circ }\right)
\cot \left( \frac{x}{2} \right) = \pm \sqrt{\frac{1+\cos(x)}{1-\cos(x)}} = \frac{1+\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} \quad f\ddot ur \quad x\in \left( -180^{\circ };\;180^{\circ }\right)

Identitäten

Aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten ableiten, mit denen die Summe zweier trigonometrischer Funktionen als Produkt aufgefasst werden kann:

\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}
\sin x-\sin y=2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}
\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}
\cos x-\cos y=-2\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}
\tan x+\tan y=\frac{\sin (x+y) }{\cos x\cos y}
\tan x-\tan y=\frac{\sin (x-y) }{\cos x\cos y}
\cot x+\cot y=\frac{\sin (x+y) }{\sin x\sin y}
\cot x-\cot y=\frac{-\sin (x-y) }{\sin x\sin y}

Produkte der Winkelfunktionen

\sin x \; \sin y = \frac{1}{2}\left[\cos (x-y) - \cos (x+y)\right]
\cos x \; \cos y = \frac{1}{2}\left[\cos (x-y) + \cos (x+y)\right]
\sin x \; \cos y = \frac{1}{2}\left[\sin (x-y) + \sin (x+y)\right]
\tan x \; \tan y = \frac{\tan x + \tan y}{\cot x + \cot y} = - \frac{\tan x - \tan y}{\cot x - \cot y}
\cot x \; \cot y = \frac{\cot x + \cot y}{\tan x + \tan y} = - \frac{\cot x - \cot y}{\tan x - \tan y}
\tan x \; \cot y = \frac{\tan x + \cot y}{\cot x + \tan y} = - \frac{\tan x - \cot y}{\cot x - \tan y}
\sin x \; \sin y \; \sin z = \frac{1}{4}\left[\sin (x+y-z) + \sin (y+z-x) + \sin (z+x-y) - \sin (x+y+z)\right]
\cos x \; \cos y \; \cos z = \frac{1}{4}\left[\cos (x+y-z) + \cos (y+z-x) + \cos (z+x-y) + \cos (x+y+z)\right]
\sin x \; \sin y \; \cos z = \frac{1}{4}\left[- \cos (x+y-z) + \cos (y+z-x) + \cos (z+x-y) - \cos (x+y+z)\right]
\sin x \; \cos y \; \cos z = \frac{1}{4}\left[\sin (x+y-z) - \sin (y+z-x) + \sin (z+x-y) + \sin (x+y+z)\right]

Potenzen der Winkelfunktionen

\sin^2 x = \frac{1}{2}\ \left[1 - \cos (2\ x)\right]
\cos^2 x = \frac{1}{2}\ \left[1 + \cos (2\ x)\right]
\tan^2 x = \frac{1 - \cos (2\ x)}{1 + \cos (2\ x)}
\sin^3 x = \frac{1}{4}\ \left[3 \sin x - \sin (3\ x) \right]
\cos^3 x = \frac{1}{4}\ \left[3 \cos x + \cos (3\ x) \right]
\sin^4 x = \frac{1}{8}\ \left[\cos (4\ x - 4 \cos (2\ x) + 3 \right]
\cos^4 x = \frac{1}{8}\ \left[\cos (4\ x + 4 \cos (2\ x) + 3 \right]
\sin^5 x = \frac{1}{16}\ \left[10 \sin x - 5 \sin (3\ x) + \sin (5\ x) \right]
\cos^5 x = \frac{1}{16}\ \left[10 \cos x + 5 \cos (3\ x) + \cos (5\ x) \right]
\sin^6 x = \frac{1}{32}\ \left[10 - 15 \cos (2\ x) + 6 \cos (4\ x) - \cos (6\ x) \right]
\cos^6 x = \frac{1}{32}\ \left[10 + 15 \cos (2\ x) + 6 \cos (4\ x) + \cos (6\ x) \right]

Reduktionsformeln

Es gibt Reduktionsformeln, mit denen man das Argument einer Winkelfunktion in das Intervall [0, 90°] bzw. [0, π/4] bringen kann.

Siehe auch: Zusammenhang mit den Hyperbelfunktionen, Quadrant

Weitere Formeln

Die folgenden Formeln folgen nach mehr oder weniger langen Termumformungen aus α + β + γ = 180°, gelten also allgemein für drei beliebige Winkel α, β und γ mit α + β + γ = 180°, solange die die in den Formeln vorkommenden Funktionen wohldefiniert sind (letzteres betrifft nur die Formeln, in denen Tangense und Kotangense vorkommen).

tanα + tanβ + tanγ = tanαtanβtanγ
cotβcotγ + cotγcotα + cotαcotβ = 1
\cot \frac{\alpha }{2}+\cot \frac{\beta }{2}+\cot \frac{\gamma }{2}=\cot \frac{\alpha }{2}\cot \frac{\beta }{2}\cot \frac{\gamma }{2}
\tan \frac{\beta }{2}\tan \frac{\gamma }{2}+\tan \frac{\gamma }{2}\tan \frac{\alpha }{2}+\tan \frac{\alpha }{2}\tan \frac{\beta }{2}=1
\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}
-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}
\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}+1
-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}-1
\sin \left( 2\alpha \right) +\sin \left( 2\beta \right) +\sin \left(2\gamma \right) =4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma
-\sin \left( 2\alpha \right) +\sin \left( 2\beta \right) +\sin \left(2\gamma \right) =4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma
\cos \left( 2\alpha \right) +\cos \left( 2\beta \right) +\cos \left(2\gamma \right) =-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1
-\cos \left( 2\alpha \right) +\cos \left( 2\beta \right) +\cos \left(2\gamma \right) =-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1
sin2α + sin2β + sin2γ = 2cosαcosβcosγ + 2
- sin2α + sin2β + sin2γ = 2cosαsinβsinγ
cos2α + cos2β + cos2γ = - 2cosαcosβcosγ + 1
- cos2α + cos2β + cos2γ = - 2cosαsinβsinγ + 1
-\sin ^{2}\left( 2\alpha \right) +\sin ^{2}\left( 2\beta \right) +\sin ^{2}\left( 2\gamma \right) =-2\cos \left( 2\alpha \right) \sin \left( 2\beta \right) \sin \left( 2\gamma \right)
-\cos ^{2}\left( 2\alpha \right) +\cos ^{2}\left( 2\beta \right) +\cos ^{2}\left( 2\gamma \right) =2\cos \left( 2\alpha \right) \sin \left( 2\beta \right) \sin \left( 2\gamma \right) +1

Reihenentwicklung

Der Sinus (blau) verglichen mit seiner Taylorreihe bis x7 (pink)
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Der Sinus (blau) verglichen mit seiner Taylorreihe bis x7 (pink)

Bitte beachten: Hier, wie auch sonst in der Analysis, ist es wichtig, dass alle Winkel im Bogenmaß angegeben werden.

Man kann zeigen, dass der Cosinus die Ableitung des Sinus darstellt und die Ableitung des Cosinus der negative Sinus ist. Hat man diese Ableitungen, kann man die Taylorreihe entwickeln und zeigen, dass die folgenden Identitäten für alle x aus den reellen Zahlen gelten:

\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \; - \; \dots \; = \; \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \quad f\ddot ur \quad |x| < \infty

 

 

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