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MATHEMATIK

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Inhaltsverzeichnis

Formelsammlung Mechanik

Inhaltsverzeichnis

1 Kinematik

1.1 Gradlinige gleichförmige Bewegung
1.2 Ungleichförmige Bewegung
1.3 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
1.4 Freier Fall ohne Reibung
1.5 Freier Fall mit Reibung

1.5.1 Fall 1: Newton-Reibung
1.5.2 Fall 2: Stokes-Reibung

1.6 Bremsweg mit zwei Reibungskomponenten

1.6.1 Newton- und trockene Reibung
1.6.2 Stokes- und trockene Reibung

1.7 Spulzeit von Tonbändern

2 Dynamik

2.1 Kraft

2.1.1 Gewichtskraft
2.1.2 Gravitationskraft
2.1.3 Reibung

2.2 Hebelgesetz

2.2.1 Drehmoment

2.3 Arbeit

2.3.1 Potenzielle Energie
2.3.2 Kinetische Energie

2.4 Leistung

Kinematik

Gradlinige gleichförmige Bewegung

$v=\frac{s}{t}$
$v$ = Geschwindigkeit in m / s
$s$ = Strecke in m
$t$ = Zeit in s

Ungleichförmige Bewegung

$\bar v=\frac{\Delta s}{\Delta t}$
$\bar v$ = mittlere Geschwindigkeit in m / s
$Δ s$ = Strecke in m
$Δ t$ = Zeit in s

mittlere Geschwindigkeiten
Typ	m / s
Schnecke	0,002
Fußgänger	1,4
Regentropfen	6
Brieftaube	20
Rennpferd	bis 25
Erde bei 0° Breite	464
Gewehrkugel	870
Licht	299.792.458

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

$\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + t\,\vec{a}$
$\vec{x}(t) = \vec{x}_0 + t\,\vec{v}_0 + \frac{1}{2} \,t^2\,\vec{a}$
mit
$\vec x(t)$ = zeitabhängige Position
$\vec x_0$ = Anfangsposition
$\vec v$ = zeitabhängige Geschwindigkeit
$\vec v_0$ = Anfangsgeschwindigkeit
$\vec a$ = Beschleunigung
$t$ = Zeit

Der Spezialfall $\vec{a}=(0,0,-g)$ entspricht dem schrägen Wurf ohne Luftwiderstand. Die Bewegung in der Ebene ist dann gleichförmig, während die vertikale Bewegung eine gleichförmig beschleunigte ist.

Im weiteren Spezialfall einer gleichförmigen Beschleunigung entlang einer Linie vereinfacht sich der Ausdruck als
$s(t) = s_0+v_0\,t+\frac{1}{2}\,a\,t^2$
$s$ = Strecke

mittlere Beschleunigung
Typ	m / s²
Personenzug	0,15
U-Bahn	0,60
Personenaufzug	2
Rakete	30

Freier Fall ohne Reibung

$v = g\cdot t=\sqrt{2\cdot g\cdot h}$
$t = \sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}$
$v$ = Geschwindigkeit in m / s
$g$ = Erdbeschleunigung in m / s²
$t$ = Zeit in s
$h$ = Fallhöhe

Erdbeschleunigung
Punkt	m / s²
Äquator	9,78
Nord- und Südpol	9,83
Normwert	9,80665

Freier Fall mit Reibung

Gegeben: Anfangshöhe H, Schwerebeschleunigung g.
Gesucht: Zeitliche Entwicklung von Momentanhöhe h(t), Geschwindigkeit v(t) und Beschleunigung a(t), Grenzgeschwindigkeit v(∞)
(negatives Vorzeichen = abwärts gerichtet)

Fall 1: Newton-Reibung

$h(t)=H-\frac{m}{\alpha}\ln\left[\cosh\left(\sqrt{\frac{\alpha g}{m}}\cdot t\right)\right]$
$v(t)=-\sqrt{\frac{mg}{\alpha}}\tanh\left(\sqrt{\frac{\alpha g}{m}}\cdot t\right)$
$a(t)=-\frac{g}{\cosh^2\left(\sqrt{\frac{\alpha g}{m}}\cdot t\right)}$
$v_g=-\sqrt{\frac{mg}{\alpha}}$ = Grenzgeschwindigkeit
Im Newton-Fall ist $\alpha=1/2\cdot c_\mathrm{w}\,\rho\,A$ , mit
$c w$ = Widerstandsbeiwert
$ρ$ = Luftdichte
$A$ = Stirnfläche des fallenden Körpers

Beispiel: Fallschirmspringer mit $m=80\,\mathrm{kg}$ , $c_\mathrm{W}\cdot A=0{,}6\mathrm{m^2}$ springt aus H = 4000 m aus einem Ballon (Anfangsgeschwindigkeit = 0). Mittlere Luftdichte = ca. 1 kg/m³, ergo $α = 0,3kg / m$ . Ferner g = 9,8 m/s².

Nach t = 10 s:
$h=4000\,\mathrm{m}-332\,\mathrm{m}=3668\,\mathrm{m}$ ,
$v=49\mathrm{\frac{m}{s}}\quad$ = 96% der Grenzgeschwindigkeit (51 m/s),
$a=0{,}1\,\mathrm{m/s^2}\quad$ = 1% von g.

Nach t = 1 min ist:
$h=4000\,\mathrm{m}-2882\,\mathrm{m}=1118\,\mathrm{m}$ $\Rightarrow$ Zeit, die „Wäsche“ rauszulassen!

Zur Genauigkeit: Für obiges Beispiel sind die Fehler im Vergleich zum numerisch Integrierten Modell nach Standardatmosphäre, konstantem c_w und ρ = ρ(H/2) in h kleiner als 100 m (bzw. 2 sek), in v kleiner als 5 m/s und in a kleiner als 0,6 m/s² = 0,06 g. Für größere H nehmen die Fehler wegen ρ(H) stark zu. Schwer quantifizierbare Fehler sind in wegen veränderlicher Körperhaltung (Fallschirmspringer) oder strömungsphysikalisch bedingter Veränderlichkeit von c_w (auch z.B. bei starren Kugeln) zu erwarten.

Fall 2: Stokes-Reibung

$h(t)=H+\frac{m}{\alpha}g\left[\frac{m}{\alpha}\left(1-e^{-(\alpha/m)t}\right)-t\right]$
$v(t)=\frac{m}{\alpha}g\left(e^{-(\alpha/m)t}-1\right)$
$a(t)=-g\,e^{-\frac{\alpha}{m} t}$

$v_g=-\frac{m}{\alpha}g$

Bremsweg mit zwei Reibungskomponenten

Newton- und trockene Reibung

Gegeben sei eine Reibungsverzögerung der Form

${\mathrm{d}v\over\mathrm{d}t}={v\cdot\mathrm{d}v\over\mathrm{d}x}= \alpha\,v^2+\beta$

Dann ist der Bremsweg Δx von v₀ auf v₁ mit v₀ ≥ v₁ ≥ 0

$\Delta x(v_0,v_1)={1\over2\alpha}\ln{\alpha v_0^2+\beta\over\alpha v_1^2+\beta}$

Stokes- und trockene Reibung

Gegeben sei eine Reibungsverzögerung der Form

${\mathrm{d}v\over\mathrm{d}t}={v\cdot\mathrm{d}v\over\mathrm{d}x}= \gamma\,v+\beta$

Dann ist der Bremsweg Δx von v₀ auf v₁ mit v₀ ≥ v₁ > 0

$\Delta x(v_0,v_1) ={1\over\gamma}\left( v_0-v_1-{\beta\over\gamma}\ln{\gamma v_0+\beta\over\gamma v_1+\beta} \right)$

Spulzeit von Tonbändern

Problem: Auffinden einer Bandstelle (in Spielminuten) bei einem Tonband- oder Videorecorder ohne oder nur mit einfachem Zählwerk (Umdrehungszähler).
Bekannte Größen: Bandlänge $L$ in Spielminuten, Umspulzeit bzw. Zählerdifferenz nach vollständigem Umspulen $T$ , Verhältnis des Radius der vollen zur leeren Spule $ρ = R voll / R leer$ .
Für eine beliebige Bandstelle x in Spielminuten ist die Spulzeit (vom Bandanfang) bzw. der Zählerstand dann
$t(x)=\frac{T}{\rho-1}\left(\sqrt{\frac{\rho^2-1}{L}x+1}-1\right) =A\left(\sqrt{B\,x+1}-1\right)\ .$
Analog ist die Spulzeit oder Zählwerksdifferenz von der Position $x 1$ zu $x 2$ gespult werden, so gilt
$t(x_1,x_2)=A\left(\sqrt{B\,x_2+1}-\sqrt{B\,x_1+1}\right)\ .$
Für eine typische 90-min-Audiocassette ist L = 46 min, ρ = 25/11 und T = 160 s und somit
$t(x)\approx 126\left(\sqrt{0,091\,x/\mathrm{min}+1}-1\right)\,\mathrm{s}\ .$

Dynamik

Kraft

$\vec F = m \cdot \vec a$
$\vec F$ = Kraft in N
$m$ = Masse in kg
$\vec a$ = Beschleunigung in m / s²

Gewichtskraft

$F_G = m \cdot g$
$F G$ = Gewichtskraft in N
$m$ = Masse in kg
$g$ = Erdbeschleunigung in m / s²

Gravitationskraft

$F_G = G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2}$
$F G$ = Gravitationskraftkraft in N
$M$ = Masse des einen Körpers in kg
$m$ = Masse des anderen Körpers in kg
$r$ = Entfernung der Schwerpunkte beider Körper voneinander in m
$G$ = Gravitationskonstante $\approx 6,6726 N m^2/kg^2$

Reibung

$\vec{F}_{RT}=-\alpha_T$ = trockene Reibung (Gleitreibung)
$\vec{F}_{RN}=-\alpha_N\,v\,\vec{v}$ Newtonsche Reibung
$\vec{F}_{RS}=-\alpha_N\,\vec{v}$ Stokessche Reibung

Hebelgesetz

$F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2$
$F 1$ = Kraft in N
$F 2$ = Last in N
$l 1$ = Kraftarmlänge in m
$l 2$ = Lastarmlänge in m

Drehmoment

$\vec M =\vec l \times\vec F$
$\vec M$ = Derhmoment in Nm
$\vec F$ = Kraft in N
$\vec l$ = Hebelarmlänge in m

Arbeit

$W = \vec F \cdot \vec s$
$W$ = Arbeit in Nm (1 Nm = 1 J = 1 Ws)
$\vec F$ = Kraft in N
$\vec s$ = Weg in m

Potenzielle Energie

Hubarbeit (Gilt nur nahe der Oberfläche eines Himmelskörpers)

$W = m \cdot g \cdot h$
$W$ = Arbeit in Nm (1 Nm = 1 J = 1 Ws)
$m$ = Masse des Körpers in kg
$g$ = Erdbeschleunigung in m / s²
$h$ = Hubhöhe in m

Potenzielle Energie in einem Gravitationsfeld

$E_{pot} = m \cdot g \cdot h \cdot \frac{R}{r} = \frac{GMm}{R}-\frac{GMm}{r}$

$E pot$ = Potenzielle Energie in J
$M$ = Masse des Himmelskörpers in kg
$R$ = Radius des Himmelskörpers in m
$r$ = Radius des Himmelskörpers + Hubhöhe (R+h) in m
$G$ = Gravitationskonstante

Siehe hierzu auch: Potenzielle Energie.

Maximale potenzielle Energie in einem Gravitationsfeld

$E_{pot.max}=\frac{GMm}{R}=mgR$ , mit $GM = gR 2$

Potenzielle Energie einer gespannten Feder

$E_{pot} = {1 \over 2}\cdot D \cdot s^2$

$D$ = Federkonstante
$G$ = Auslenkung der Feder aus der Ruhelage

Kinetische Energie

Beschleunigungsarbeit
$W = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$
$W$ = Arbeit in Nm (1 Nm = 1 J = 1 Ws)
$m$ = Masse in kg
$v$ = Geschwindigkeit in m / s

Leistung

$P = \frac{W}{t}$
$P$ = Leistung in Nm / s (1 Nm / s = 1 J / s = 1 W)
$W$ = Arbeit in Nm (1 Nm = 1 J = 1 Ws)
$t$ = Zeit in s

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