Mathematik - Algorithmen - Huffman

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Beispiele

Gegeben sei folgende Zeichenfolge:MISTERSWISS
ErmittelnSie die Wahrscheinlichkeit der Symbole, sowie die Struktur des Huffman-Tree.

Die mittlere Codewortlänge hängt von derWahrscheinlichkeit, von der Länge des Wortes und von der Länge des Codes ab:

Beispiel:
X={A,B}
p(A)=0.5 A=0 Länge:1
p(B)=0.5 B=111 Länge:3
n=2
L= [ (0.5*2*1) + (0.5*2*3) ]/ 2 = 2 bit

Die mittlere Informationsgehalt der Quelle:

X={A,B}
p(A)=0.5 p(B)=0.5
H= [ (0.5*log2(1/0.5)) + (0.5*log2(1/0.5)) = 1 Sh/Symbol

Coderedundanz:
R= L(X) – H(X) = 1 bit/Symbol

H=0.11*log2(1/0.11)+ 0.11*log2(1/0.11)+ 0.22*log2(1/0.22)+0.55*log2(1/0.55)=1.655
L=((0.11*4*3)+(0.11*4*3)+(0.22*4*2)+(0.55*4*1))/4=1.665 bit

H=0.09*log2(1/0.09)+ 0.09*log2(1/0.09)+ 0.09*log2(1/0.09)+ 0.09*log2(1/0.09)+ 0.09*log2(1/0.09) +0.18*log2(1/0.18)+0.36*log2(1/0.36)=2.53
L=((0.09*7*4)+(0.09*7*4)+(0.09*7*4)+(0.09*7*4)+(0.09*7*3)+(0.18*7*3)+(0.36*7*1))/7=2.61 bit

Die mittlere Codewortlänge Lc ist immer grösser als die Entropie H(X) der betreffenden Quelle.
Durch geschicktes Codieren können wir aber die Coderedundanz beliebig klein machen. Wir erreichen dieses Ziel, indem wir nicht jedem Symbol der Quelle ein Codewort zuordnen, sondern Symbole zusammenfassen und erst dann codieren.

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